on a 3^x+4^y=5^z
alors 5^z=1[3]
donc (-1)^z=1[3]
par suit z est pair (z=2k)
3^x=(5^k-2^y)(5^k+2^y)
donc 5^k+2^y=3^a et 5^k-2^y=3^b avec a+b=x
et puisque 3 ne divise pas (5^k+2^y)-(5^k-2^y)=2^(y+1)
alors a=0 ou b=0
mais on a 5^k+2^y>5^k-2^y
alors 5^k+2^y=3^x et 5^k-2^y=1
donc 2^(y+1)=3^x-1=-1(mod 3)
alors y est pair
et puisque (-1)^k+(-1)^y=0 (mod 3) [car 5^k+2^y=3^x]
donc (-1)^k=-1 (mod 3) par suit k est impair (5^k=5[8])
3=3[8]
3^2=1[8]
3^3=3[8]
donc 3^x-5 n'ai pas divisible par 8
<=> 3^x-5^k nèai pas divisible par 8 car (5^k=5[8])
<=> 2^y n'ai pas divisible par 8
donc y<3
donc y=0 ou y=2 car y est pair
y=0 donne (dans ce cas 5^k=1+2^y=2 impossible)
y=2 donne 5^k=2^y+1=5 donc k=1 => z=2 et par la suite x=2
S={(2,2,2)}
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