Conditions nécessaires et suffisantes

Les notions de condition nécessaire et suffisante piègent souvent les étudiants. Rappelons ici leur signification. On considère P et Q deux propositions (par exemple : "x est un nombre pair", "ABCD est un parallélogramme", "AB=BC",...). On dit que :
Q est une condition nécessaire pour avoir P si dès que P est vraie, alors nécessairement, forcément, obligatoirement Q est vraie.
Q est une condition suffisante pour avoir P s'il suffit que Q soit vraie pour que P soit vraie.
Exemple : On considère la proposition "ABCD est un losange".
"ABCD est un parallélogramme" est une condition nécessaire pour que ABCD soit un losange : si ABCD est un losange, nécessairement ABCD est un parallélogramme. Le contraire (la réciproque) est faux : il existe des parallélogrammes qui ne sont pas des losanges. La condition n'est pas suffisante.
"ABCD est un carré" est une condition suffisante pour que ABCD soit un losange. Dès que l'on sait que ABCD est un carré, on sait que ABCD est un losange, le contraire étant bien évidemment faux.
Lorsqu'une condition est à la fois nécessaire et suffisante, on dit que c'est une condition nécessaire et suffisante, et on est autorisé à employer la formule magique : "si et seulement si". Par exemple, la condition "Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu, et sont perpendiculaires" est une condition nécessaire et suffisante pour que ABCD soit un losange. Pour que ABCD soit un losange, il faut, et il suffit, que ses diagonales se coupent en leur milieu et soit perpendiculaires. En d'autres termes, un quadrilatère est un losange si, et seulement si, ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires

Bonjour,

C'est vrai que c'est une source d'erreurs principale pour les étudiants, et surtout pour la résolution d'équations. Un exemple simple:

x est un réél:



Le raisonnement par implication permet d'obtenir une condition NECESSAIRE. Ainsi, on vient de montrer que si x vérifie , alors x=-282, ce qui ne signifie pas que x=-282 est une solution de l'équation; cela montre simplement que tout réél x différent de -282 n'est pas solution de l'équation. L'équation a donc au maximum une solution. Il suffit à présent de vérifier si cette solution est valable: on teste donc la RECIPROQUE, c'est-à-dire que l'on vérifie si


Ce qui n'est évidemment pas le cas, car cela donnerait la racine d'un nombre négatif.

On voit donc l'importance du type de raisonnement utilisé à travers cet exemple; souvent on se contente d'un raisonnement implicatif, ce qui induit souvent en erreur, comme ici puisque on trouve une solution x=-282 qui est absurde. C'est d'autant plus regrettable que la plupart du temps la réciproque est triviale, comme dans l'exemple évoqué plus haut.
Pour éviter ce genre d'erreur, il est donc préférable de traduire l'énoncé en terme de relations:

Si on demande TOUTES les solutions d'une équation, il faudra utiliser le raisonnement par équivalence: Ainsi, E est l'ensemble des solutions de cette équations si et seulement si:

-Tout nombre vérifiant l'équation appartient à cet ensemble (implication)
-Tout nombre appartenant à E vérifie l'équation (réciproque)

Si l'on demande simplement de trouver une condition NECESSAIRE, il suffira de trouver un ensemble E tel que:
-Tout nombre vérifiant l'équation appartient à cet ensemble (implication)


Si l'on demande une condition SUFFISANTE, il suffira de trouver un ensemble E tel que:

-Tout nombre appartenant à E vérifie l'équation (réciproque)

Voilà, j'espère que j'ai été clair!