inégalité cahaude

soient x et y et z des nombre strictement positif tel ke xy+yz+xz=<xyz montrè ke 3x+3y+3z=<xyz

On note u=1/x , v=1/y, w=1/z . On part de l'inusable uv =< (u²+v²)/2 , etc ..
En additionnant on obtient uv+vw+wu =< (u²+v²+w²) d'où 3(uv+vw+wu) =< ((u+v+w)²)
En remplaçant u,v,w, par leur valeurs on obtient 3(x+y+z)/(xyz) =< ((xy+yz+zx)/(xyz))²) ou encore 3(x+y+z) =< ((xy+yz+zx)²)/(xyz)
Et comme xy+yz+zx =< xyz , on obtient finalement 3(x+y+z) =< xyz